2013年4月29日 星期一

Πυθαγόρας

陳力!!!!!!!!!!!!!!!!!可以來看一下XD
之前那個神祕的東東的證明~

a^2 + b^2 = c^2 (a, b, c 是整數)

=> (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
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Let: x = a/c,y = b/c (x, y 是有理數)

=> x^2 + y^2 = 1

=> y * y = (1+x)(1-x)

=> y / (1+x) = (1-x) / y
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Let: t = y / (1+x) = (1-x) / y (t 是有理數)

x = 1 - yt,y = t + xt

=> x = (1-t^2) / (1+t^2), y = (2t) / (1+t^2)
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Let:t = u / v (u, v 是整數)

x = (v^2 - u^2) / (v^2 + u^2)
y = ( 2 * u * v ) / (v^2 + u^2)
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因為是比例,所以乘一個 r

a = (v^2 - u^2) * r
b = (2 * u * v) * r
c = (v^2 + u^2) * r
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放進任意正整數的 v, u, r 便可以得到所有的triple。(v > u)

但如果要找的是素勾股數(gcd(a, b, c) = 1):

不需要 r 這個數字,v 和 u 也要互質且必定一奇一偶
(這部份很容易證明,若符合任一條件則不是素勾股數)
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但要保證,剩下的全部都是素勾股數就比較困難

a = (v^2 - u^2) 奇
b = (2 * u * v) 偶
c = (v^2 + u^2) 奇

gcd(b, c)
= gcd(b, b + c) // b=gx, c=gy, x互質於y, 則x互質於x+y(cont.)
= gcd(2 * u * v, (v + u) ^ 2) // 用反證法證明上述論點
= gcd(u * v, (u + v) ^ 2) // 可以知道b + c是奇數

引理:A互質於C 且 B互質於C => A * B互質於C
Pf: 用反證,A=pa, B=qb, C=gc, p*q = g, 矛盾

u互質於v => u互質於u+v => u互質於(u+v)^2
同理可以得證  =========> v互質於(u+v)^2

因此 gcd(u * v, (u + v) ^ 2) = gcd(b, c) = 1
因此 gcd(a, gcd(b, c)) = gcd(a, b, c) = 1
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最後順便證「對於不同的(u, v)不可能會有相同的(a, b, c)」

先觀察一下
a = (v^2 - u^2)
b = (2 * u * v)
c = (v^2 + u^2)
可以知道c > a 且 c > b,但不保證b > a

因為我們希望的是a, b, c由小排到大,所以要證的如下:
若 (u, v) != (u', v'),則 (a, b, c) != (a', b', c') 且 (a, b, c) != (b', a', c')

這邊很簡單,亂搞一下就出來了~XD
話說,證岀來還滿爽的XDDDDDDDD

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